根轨迹法则

2025-11-1 writed by luwei with AI

根轨迹绘制法则

$K$ ）变化的重要工具。其绘制遵循一系列基本法则，核心依据是根轨迹的幅角条件和幅值条件。

📝 根轨迹绘制核心法则详解

下表汇总了绘制根轨迹时需遵循的基本法则。幅角条件是根轨迹的充要条件，即s平面上满足幅角条件的点才在根轨迹上；幅值条件则用于确定根轨迹上特定点所对应的参数值（如K值）。

法则序号	法则内容	180°根轨迹（负反馈系统）	0°根轨迹（正反馈系统等）
1	根轨迹的分支数、对称性和连续性	$n$ （即闭环特征方程的根的个数），轨迹连续且对称于实轴。	同180°根轨迹。
2	起点和终点	$K=0$ $K \to \infty$ $n > m$ $n-m$ 条轨迹趋向于无穷远处。	同180°根轨迹。
3	实轴上的分布	实轴上某线段右侧的开环实数零、极点数目之和为奇数时，该线段是根轨迹的一部分。口诀常记作“奇是偶不是”。	右侧的开环实数零、极点数目之和为偶数时，该线段是根轨迹。
4	渐近线	$n > m$ $n-m$ 交点坐标 $\sigma_a = \frac{\sum_{j=1}^{n} p_j - \sum_{i=1}^{m} z_i}{n-m}$ 夹角 $\varphi_a = \frac{(2k+1)\pi}{n-m},\ k=0,1,2,...,n-m-1$ 。	交点坐标计算同180°根轨迹夹角 $\varphi_a = \frac{2k\pi}{n-m},\ k=0,1,2,...,n-m-1$ 。
5	分离点/会合点	$d$ $\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{d-p_j} = \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{d-z_i}$ $K>0$ 。	计算方法同180°根轨迹。
6	与虚轴的交点	劳斯判据 $K_c$ $\omega$ $s=j\omega$ $\omega$ $K$ 。	计算方法同180°根轨迹，但需注意特征方程形式可能不同。
7	出射角与入射角	出射角 $\theta_{p_k} = 180^\circ + \sum_{i=1}^{m} \angle(p_k - z_i) - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq k}}^{n} \angle(p_k - p_j)$ 入射角 $\theta_{z_k} = 180^\circ - \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{m} \angle(z_k - z_i) + \sum_{j=1}^{n} \angle(z_k - p_j)$ 。	出射角 $\theta_{p_k} = 0^\circ + \sum_{i=1}^{m} \angle(p_k - z_i) - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq k}}^{n} \angle(p_k - p_j)$ 入射角 $\theta_{z_k} = 0^\circ - \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{m} \angle(z_k - z_i) + \sum_{j=1}^{n} \angle(z_k - p_j)$ 。
8	闭环极点之和与积	$n-m \geq 2$ 时，闭环极点之和等于开环极点之和，为常数。此性质可用于判断根轨迹的走向。	同180°根轨迹。

🔄 参数根轨迹（广义根轨迹）

$K$ ，而是其他参数（如时间常数、反馈系数等）时，需要绘制参数根轨迹。绘制步骤通常如下：

写出原系统的闭环特征方程 $1 + G(s)H(s) = 0$ 。
构造等效系统 $a$ $K$ $1 + a \frac{P(s)}{Q(s)} = 0$ 的形式。
绘制等效根轨迹 $\frac{P(s)}{Q(s)}$ $a$ 视为等效根轨迹增益，应用前述基本法则绘制根轨迹。

示例 $G_k(s) = \frac{K}{s(s+a)}$ $a$ $K=1$ $s^2 + a s + 1 = 0$ $1 + a \frac{s}{s^2 + 1} = 0$ $G^*(s) = \frac{s}{s^2 + 1}$ $a$ 为变量的根轨迹。

💎 总结与应用提示

核心依据：牢记幅角条件是判断根轨迹的充要条件，所有法则都由此推导而来。
系统类型判断：首先明确系统是负反馈（通常为180°根轨迹）还是正反馈（通常为0°根轨迹），或者开环传递函数是否经过变换导致需要采用0°根轨迹规则。
参数根轨迹处理：通过特征方程变形，可将参数根轨迹转化为常规根轨迹问题处理。
绘制顺序：通常按上表所列法则顺序进行，先确定分支、起点终点、实轴分布、渐近线等大框架，再求分离点、与虚轴交点等细节，最后对复数零极点考虑出射角/入射角，这样能提高绘图效率。

180度根轨迹、0度根轨迹和参数根轨迹的判断方法

理解180度根轨迹、0度根轨迹和参数根轨迹的区别与判断方法，是掌握根轨迹分析的关键。下面这个表格能帮你快速梳理它们的核心差异。

分析维度	180度根轨迹 (常规根轨迹)	0度根轨迹 (补根轨迹/正反馈根轨迹)	参数根轨迹 (广义根轨迹)
本质与来源	负反馈 $1 + G(s)H(s) = 0$ $G(s)H(s) = -1$	正反馈 $1 - G(s)H(s) = 0$ $G(s)H(s) = 1$	研究*除开环增益K以外**的参数（如时间常数、质量等）变化的影响
相角条件	$\sum \angle(s-z_j) - \sum \angle(s-p_i) = (2k+1)\pi$ (180° 等相角条件)	$\sum \angle(s-z_j) - \sum \angle(s-p_i) = 2k\pi$ (0° 等相角条件)	取决于等效后的特征方程形式，可能是180度或0度条件
主要应用场景	最常用，分析负反馈系统中开环增益K*变化对闭环极点的作用	分析正反馈系统、非最小相位系统或某些特定参数下增益为负的系统	分析任意可变参数（如T, a等）对系统性能的影响，增益K*固定
关键判断方法	$1 + G(s)H(s) = 0$ $G(s)H(s)$ 为首一标准型（s项系数为正）	$1 - G(s)H(s) = 0$ 的形式，或系统明确为正反馈结构	核心步骤是构造等效开环传递函数，将可变参数提到与K*相当的位置
绘制规则差异 (与180度比较)	基准规则	1. 实轴上根轨迹：其右侧实轴上的开环零、极点数目之和为偶数渐近线夹角 $\phi_k = \frac{2k\pi}{n-m}$ 。 3. 出射角/入射角计算公式不同。	绘制法则与常规根轨迹相同，关键在于正确构造等效开环传递函数后，根据其形式判断适用180度还是0度规则。

💡 解题时的核心判断流程与技巧

面对具体题目时，清晰的判断流程至关重要：

第一步：识别可变参数
- 如果可变参数是 $K$ $K^\*$ ），则通常为常规根轨迹（180度或0度）问题。
- 如果可变参数是其他参数（如时间常数、某个环节的参数等），并且开环增益固定，则属于参数根轨迹问题。
第二步：判断是180度还是0度根轨迹
- 这是最容易混淆的地方。最可靠的方法是回归到系统的闭环特征方程。
- 黄金法则 $1 + \text{(含可变参数的项)} = 0$
- 然后，检查“含可变参数的项”的符号：
  - “+” $1 + F(s) = 0$ ，则绘制 180度根轨迹。
  - “-” $1 - F(s) = 0$ ，则绘制 0度根轨迹。
- 重要提醒 $1 - G(s)H(s) = 0$ 的形式，此时反而需要画0度根轨迹。
第三步：参数根轨迹的等效变换
- $G_{eq}(s)H_{eq}(s)$ $K^*$ 。
- 通用步骤：
  - $D(s) = 0$ 。
  - $\alpha$ ）的项与不含它的项分开。
  - $\alpha$ $1 + \alpha \frac{P(s)}{Q(s)} = 0$ 。
  - $G_{eq}(s)H_{eq}(s) = \alpha \frac{P(s)}{Q(s)}$ 。
  - e. 根据此等效传递函数，判断应绘制180度还是0度根轨迹，然后按相应规则绘制即可。

🧠 避免常见误区

误区一：“负反馈画180度，正反馈画0度。”——不完全正确，最终要由特征方程的形式决定。
误区二：“参数根轨迹的规则完全不同。”——不对，参数根轨迹的绘制规则在完成等效后，与常规根轨迹完全一样。
关注差异点：在绘制时，要特别关注180度与0度根轨迹在实轴分布规则、渐近线夹角和出射角/入射角计算上的不同，这是正确作图的关键。

以上判断方法主要基于理论推导和常见规则，实际应用中请以题目给出的具体条件和要求为准。