author: luwei date: 2025-10-5 version: v0.6.6 revise time:2025-10-16

Description：根据我的纸质笔记通过Qwen-3 MAX转换得到的电子版数学笔记。记录零散，非按章节整理。

🏠 回到主页

考研数二—高数笔记

1. $\int e^{-x}xdx$$\int e^{-x} x \, dx$ 积分求解

解法(分部积分 + 凑微分)：

首先，利用凑微分：

原式可改写为：

应用分部积分公式 $\int udv=uv-\int vdu$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$：

最终结果：

2. $\int \frac{1}{x+a}dx=\ln |x+a|+C$$\int \frac{1}{x+a} \, dx = \ln |x+a| + C$

注意：绝对值勿漏！

3. 不等式：$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$

来源：2026版 张宇《1000题》第6章第6题；25基础30讲P53

4. 立方和与立方差公式

• 立方和公式：

  $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

• 立方差公式：

  $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

5. 常用积分与恒等式

• $\int x{e}^{x}dx=e^x(x-1)+C$$\int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C$ （建议记忆）

• $\int \frac{1}{(1+x{)}^2}dx=-\int 1d\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{1}{1+x}+C$$\int \frac{1}{(1+x)^2} \, dx = -\int 1 \, d\left(\frac{1}{1+x}\right) = -\frac{1}{1+x} + C$

• 重要恒等式：

  $$\int e^x[f(x)+f^{\prime }(x)]dx=e^{x}f(x)+C$$

6. 二倍角公式

基本形式：

推导形式：

7. 积分公式：$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx$$\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx$

8. 关于 $\int \frac{1}{1+x^4}dx$$\int \frac{1}{1 + x^4} \, dx$ 类积分的技巧

方法： 分子分母同除以 $x^2$$x^2$，将分母写成 $(x-\frac{1}{x}{)}^{\prime }$$(x - \frac{1}{x})'$ 或 $(x+\frac{1}{x}{)}^{\prime }$$(x + \frac{1}{x})'$ 的形式，再提到 $d$$d$ 后面进行换元。

9. 三角代换（用于根号内含平方项）

• $\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t$$\sqrt{a^2 - x^2} \quad \Rightarrow \quad x = a \sin t$

• $\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan t$$\sqrt{a^2 + x^2} \quad \Rightarrow \quad x = a \tan t$

• $\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t$$\sqrt{x^2 - a^2} \quad \Rightarrow \quad x = a \sec t$

10. 三角恒等式推导

由基本恒等式 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 推导：

• 两边同除以 ${\cos }^{2}t$$\cos^2 t$ 得：

  $$1+{\tan }^{2}t={\sec }^{2}t\text{其中}\sec t=\frac{1}{\cos t}$$

• 两边同除以 ${\sin }^{2}t$$\sin^2 t$ 得：

  $$1+{\cot }^{2}t={\csc }^{2}t\text{其中}\cot t=\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{1}{\tan t},\csc t=\frac{1}{\sin t}$$

11. 特殊三角函数积分

• $\int {\tan }^{2}xdx=\int ({\sec }^{2}x-1)dx=\tan x-x+C$$\int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \tan x - x + C$

• $\int {\cot }^{2}xdx=\int ({\csc }^{2}x-1)dx=-\cot x-x+C$$\int \cot^2 x \, dx = \int (\csc^2 x - 1) \, dx = -\cot x - x + C$

12. 万能公式（Weierstrass substitution）

令 $t=\tan \frac{x}{2}$$t = \tan\frac{x}{2}$，则有：

• $x=2\arctan t$$x = 2 \arctan t$

• $dx={\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}dt$$dx = \dfrac{2}{1 + t^2} dt$

由此可得：

• 正弦：

  $$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{{\tan }^2\frac{x}{2}+1}=\frac{2t}{1+t^2}$$

• 余弦：

  $$\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

• 正切：

  $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2t}{1-t^2}$$

用途： 将任意关于 $\sin x$$\sin x$ 和 $\cos x$$\cos x$ 的有理函数积分转化为关于 $t$$t$ 的有理函数积分。

13. 形如 $\int \frac{A\sin x+B\cos x}{C\sin x+D\cos x}dx$$\int \frac{A \sin x + B \cos x}{C \sin x + D \cos x} \, dx$ 的积分

解法：

设分子为分母及其导数的线性组合：

其中：

代入并比较系数，解出常数 $P$$P$ 和 $Q$$Q$。

则原积分为：

14. $\int \csc xdx=\int \frac{1}{\sin x}dx$$\int \csc x \, dx = \int \frac{1}{\sin x} \, dx$

标准结果：

也可写作 $\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$$\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C$，两者等价。

15. 积化和差公式

• $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

• $\sin \alpha \cdot \sin \beta ={\displaystyle \frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{2}}$$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) }{2}$

• $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

• $\sin \alpha \cdot \cos \beta ={\displaystyle \frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}}$$\sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) }{2}$

16. 辅助角公式

对于形如 $a\sin \alpha +b\cos \alpha$$a \sin \alpha + b \cos \alpha$ 的式子，可化为：

其中：

也可写成 $\sqrt{a^2+b^2}\cdot \cos (\alpha -\theta )$$\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos(\alpha - \theta)$，其中 $\tan \theta =\frac{a}{b}$$\tan \theta = \frac{a}{b}$。

17. 反常积分敛散性“万能公式”

考虑积分：

其敛散性需分别讨论在 $x\to 0^{+}$$x \to 0^+$ 和 $x\to +\mathrm{\infty }$$x \to +\infty$ 两端的行为：

• 当 $x\to 0^{+}$$x \to 0^+$ 时：

  • 若 $\alpha <1$$\alpha < 1$，收敛；

  • 若 $\alpha =1$$\alpha = 1$，且 $\beta >1$$\beta > 1$，收敛；

  • 否则发散。

• 当 $x\to +\mathrm{\infty }$$x \to +\infty$ 时：

  • 若 $\alpha >1$$\alpha > 1$，收敛；

  • 若 $\alpha =1$$\alpha = 1$，且 $\beta >1$$\beta > 1$，收敛；

  • 否则发散。

结论： 整个积分收敛当且仅当两端均收敛。

18. 关于 ${\int }_0^1(\ln u{)}^{k}du$$\int_0^1 (\ln u)^k \, du$ 的说明

该积分是收敛的。

虽然当 $u\to 0^{+}$$u \to 0^+$ 时，$\ln u\to -\mathrm{\infty }$$\ln u \to -\infty$，但对数函数增长非常缓慢，其幂次函数 $(\ln u{)}^k$$(\ln u)^k$ 的衰减速度远慢于任何幂函数 $u^p$$u^p$（$p>0$$p > 0$），因此不会导致积分发散。

补充： 实际上，${\int }_0^1(\ln u{)}^{k}du=(-1{)}^k\cdot k!$$\int_0^1 (\ln u)^k \, du = (-1)^k \cdot k!$ （可通过换元 $u=e^{-t}$$u = e^{-t}$ 证明）。

19. 高斯积分与伽马函数

高斯积分：

• ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}$$\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$

• ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dx=1$$\int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = 1$

Γ函数 (Gamma Function)

定义:

注：通过变量代换 $x=t^2$$x = t^2$ 可得 $\mathrm{\Gamma }(\alpha )=2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{2\alpha -1}{e}^{-t^2}dt$$\Gamma(\alpha) = 2 \int_{0}^{+\infty} t^{2\alpha-1} e^{-t^2} dt$。