通信原理学习笔记

writed by luwei 6-21-23 2025

章节	重要程度	题型	考点
第一课：绪论	$\star \star \star$	$/$ 计算题	信息及其度量、有效性和可靠性
第二课：确知信号	$\star \star \star \star \star$	$/$ 计算题	能量谱和功率谱、自相关函数、互相关函数
第三课：随机过程	$\star \star \star$	$/$ 分析题	狭义平稳和广义平稳、高斯随机过程一维概率密度函数
第四课：信道	$\star \star \star \star$	$/$ 计算题	$/$ 随参信道对信号的影响、信道容量
第五课：模拟调制系统	$\star \star \star \star \star$	$/$ 计算题	幅度调制、角度调制、功率和带宽的计算
第六课 : 数字信带传输系统	$\star \star \star \star \star$	分析题/计算题	无码间干找、码型转换、最佳判决门限和误码率计算
第七课 : 数字带通传输系统 &新型数字带通调制技术	$\star \star \star \star \star$	填空题/计算题	二进制数字调制、正交振幅调制、带宽和频带利用率的计算
第八课 : 数字信号最佳接收	$\star \star$	选择题/分析题	最佳接收结构、最佳接收原则
第九课 : 信源编码	$\star \star \star$	填空题/计算题	抽样定理、量化信噪比
第十课 : 差错控制编码	$\star \star \star$	填空题/计算题	监督矩阵、生成矩阵

离散消息的信息量

$x$ $P(x)$ , 则它所携带的信息量为

$\begin{gathered} I=\log _{a} \frac{1}{p(x)}=-\log _{a} P(x) \end{gathered}$

$a$ $a=\mathrm{e}$ $a=10$ $a=2$ 时, 单位为比特(bit, 简记为 b), 此时有

$\begin{gathered} I=\log _{2} \frac{1}{p(x)}=-\log _{2} P(x)(\mathrm{bit}) \end{gathered}$

$1 \mathrm{bit}$ $M$ $\log 2 M \mathrm{bit}$ $M$ $\log 2 M$ 个二进制码元表示。

离散消息的平均信息量

$\left(\begin{array}{ccccc}x_{1} & x_{2} & \cdots \cdots & x_{m} \\P\left(x_{1}\right) & P\left(x_{2}\right) & \cdots \cdots & P\left(x_{m}\right)\end{array}\right)=1 \text { 且 }, \sum_{i=1}^{M} P(x i)$

则该信源中每个符号所含的平均信息量(又称熵)为:

$H(x)=\sum_{i=1}^{M} P(x i) \log _{2} P(x i)(\mathrm{~b/} \text { 符号 })$

$(P(z) = 1 / M)$ 独立出现时,不确定性最大,此时的熵有最大值。即

$H_{\text {max }}=\log _{2} M(\mathrm{~b} / \text { 符号 })$

信息速率与传码率的关系

（1）信息速率与传码率的关系

传码率（波特率） $R_B$ ：单位时间传输的码元数，单位为 Baud（波特）。
信息速率（比特率） $R_b$ ：单位时间传输的信息量，单位为 bit/s。
进制数 M $\log_2 M$ （bit / 码元）。
公式推导 $\times$ $R_b = R_B \cdot \log_2 M$ $M=8$ $3\ \text{bit}$ $R_b = 3R_B$ $R_b$ $R_B$ 相等。

$P_e$ 的定义

物理意义：传输过程中错误码元数占总码元数的比例，反映系统可靠性。
公式 $P_e = \frac{\text{错误码元数 } N_e}{\text{总码元数 } N}$ $P_b$ ，则分母为总比特数，但本题是误码率，直接统计码元错误）

确知信号

$\begin{aligned}& \text{能量信号：能量有限（一般为有限长信号）} E = \int s^2(t) \, dt \\& \text{能量谱密度：由（Parseval）定理得 } E = \int_{-\infty}^{\infty} s^2(t) \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} |S(f)|^2 \, df \\& |S(f)|^2 \text{ 称为能量谱密度，可看作单位频带内的信号能量} \\& \text{能量信号的频谱密度：} S(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j\omega t} \, dt\end{aligned}$

功率信号：功率有限（一般为周期信号）

$\begin{aligned} & P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \left| S_f(f) \right|^2 df = \int_{-\infty}^{\infty} P(f) df \\ & \text{功率谱密度：} \quad P(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \left| S_T(f) \right|^2 \\ & \text{功率信号的频谱：} \quad C(jn\omega_0) = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} s(t) e^{-jn\omega_0 t} dt \end{aligned}$

平稳过程的自相关函数

1. 自相关函数的定义

公式 $R(\tau) = E[\xi(t) \cdot \xi(t + \tau)]$
- $\xi(t)$ $\tau$ $E[\cdot]$ 表示期望（平均值）。
物理意义：
- 自相关函数衡量信号在不同时刻的“相似性”。例如：
  - $\tau = 0$ $R(0) = E[\xi^2(t)]$ ，表示信号与其自身的相关性（最强）。
  - $\tau$ $\tau \to \infty$ $t$ $t+\tau$ $R(\tau)$ 很小）。
通俗理解：
- $\tau$ $R(\tau)$ $R(\tau)$ 会快速衰减。

2. 自相关函数的性质与物理量解析

$R(0) = E[\xi^2(t)]$ → ξ(t) 的平均功率

物理量：
- $E[\xi^2(t)]$ ：随机过程的平均功率（单位时间内的平均能量）。
为什么是平均功率？
- $\xi(t)$ $\xi^2(t)$ 的长期平均值（类似电器功耗的计算）。
- $\xi(t)$ $E[\xi^2(t)]$ 表示负载电阻上的平均功率。
关键点：
- $R(0)$ $t$ ），且直接给出总功率。

$R(\tau) = R(-\tau)$ → τ 的偶函数

物理意义：
- 偶函数 $\tau = 0$ 对称。
通俗理解：
- $\tau$ $\tau$ 秒”的相关性相同。例如：
  - 录音中，向前 2 秒和向后 2 秒的波形相似性一致（平稳过程的特性）。
应用 $\tau \geq 0$ 的部分。

$|R(\tau)| \leq R(0)$ → R(τ) 的上界

公式修正 $|R(\tau)| \leq R(0)$
物理意义：
- $\tau = 0$ $|R(\tau)|$ $R(0)$ 。
通俗理解：
- $\tau=0$ ）总是最强；时间差越大，相关性越弱（类似“远亲不如近邻”）。
- $R(1)$ $R(30)$ 较小），且永远不会超过今天与自身的相关性。

$R(\infty) = [E\xi(t)]^2$ → ξ(t) 的直流功率

物理量：
- $[E\xi(t)]^2$ ：随机过程的直流功率（恒定分量的功率）。
为什么？
- $\tau \to \infty$ $t$ $t+\tau$ $R(\infty) = E[\xi(t)] \cdot E[\xi(t+\tau)] = [E\xi(t)]^2$ （因平稳性，均值恒定）。
- 直流功率对应信号中不随时间变化的“背景值”。
例子：
- $\xi(t)$ 均值 $E\xi(t) = 0$ （如中心化的噪声），则直流功率为 0。

$R(0) - R(\infty) = \sigma^2$ → ξ(t) 的交流功率

物理量：
- $\sigma^2$ ：方差，表示随机过程的交流功率（波动分量的功率）。
为什么？
- $E[\xi^2(t)] = R(0)$ 。
- $\text{Var}[\xi(t)] = E[\xi^2(t)] - [E\xi(t)]^2 = R(0) - R(\infty)$ 。
- $\sigma^2$ 是信号波动部分（去除直流后）的平均功率。
通俗理解：
- 总功率 = 直流功率（恒定部分）+ 交流功率（波动部分）。
- $\sigma^2$ 越大，信号波动越剧烈。

$R(0) = \sigma^2$

公式 $E\xi(t) = 0$ $R(0) = \sigma^2$ 。
物理意义：
- $E\xi(t) = 0$ $R(\infty) = 0$ $R(0)$ $\sigma^2$ 。

3.广义平稳随机过程的性质

$\begin{aligned}& E[X(t)]=m_{X}=\text { 常数 } \\& D[X(t)]=E\{\left.X(t)-E[X(t)\right]\}^{2}=\sigma_{X}^{2}=\text { 常数 } \\& R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=R_{X}\left(t_{1}-t_{2}\right)=R_{X}(\tau) \quad \tau=t_{1}-t_{2}\end{aligned}$

高斯随机变量与概率密度函数

（1）高斯随机变量的定义

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right]$ $\mu$ $\sigma^2$ $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 。

（2）线性变换下正态分布的不变性

性质 $X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma_X^2)$ $a \neq 0$ $Y = aX + b$ $Y \sim \mathcal{N}(a\mu_X + b, (a\sigma_X)^2)$
推导逻辑：
可通过 “分布函数法” 或 “特征函数法” 证明：
- $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(aX + b \leq y)$ ，再对 y 求导得概率密度。
- $\phi_X(\omega) = \exp\left( j\mu\omega - \frac{1}{2}\sigma^2\omega^2 \right)$ $\phi_Y(\omega) = \exp\left( j(a\mu + b)\omega - \frac{1}{2}(a\sigma)^2\omega^2 \right)$ ，对应正态分布。

（3）期望与方差的线性性质

期望的线性性 $a, b$ $E[aX + b] = aE[X] + b$ 。
方差的性质 $a, b$ $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$ $\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)$ ）。

随机信号的功率谱

（1）随机信号通过线性系统的功率谱关系

公式 $P_n(f)$ $|H(f)|$ $P_o(f) = P_n(f) \cdot |H(f)|^2$
物理意义 $|H(f)|^2$ 缩放。

（2）平均功率与功率谱密度的关系

公式 $P = \int_{-\infty}^{\infty} P(f) \, df$
推导逻辑：功率谱密度是 “单位频率的功率”，对频率积分相当于 “累加所有频率点的功率”，最终得到总平均功率。

（3）白噪声的功率谱特性

定义 $-\infty < f < \infty$ $P_n(f) = n_0/2$ $n_0$ 为单边谱密度）。
$P_n(f)$ $P_n(f)$ 乘以滤波器带宽 B（即信号带宽）。
工程意义：实际噪声（如热噪声）在一定带宽内可近似为白噪声，简化分析。

（4）低通滤波器的频响特性

幅频特性 $[-2\ \text{kHz}, 2\ \text{kHz}]$ $f \in [-2\ \text{kHz}, 2\ \text{kHz}]$ $|H(f)| = 4$ $|H(f)| = 0$ 。属于理想低通滤波器（实际滤波器存在过渡带，本题简化为理想情况）。

频谱调制

1. 调制带宽的本质

频谱搬移后的边带宽度 $m(t)$ $c(t) = A_c\cos(\omega_c t)$ ，不同调制方式的频谱特性差异导致带宽不同。

2. 各调制方式的带宽公式

AM 调制 $s_{\text{AM}}(t) = [A_c + m(t)]\cos(\omega_c t)$ $A_c\delta(f \pm f_c)$ $\frac{1}{2}M(f \pm f_c)$ $M(f)$ $m(t)$ $m(t)$ $f_{\text{H}}$ $f_{\text{H}}$ $B_{\text{AM}} = 2f_{\text{H}}$
DSB 调制 $s_{\text{DSB}}(t) = m(t)\cos(\omega_c t)$ $\frac{1}{2}M(f \pm f_c)$ $f_{\text{H}}$ $B_{\text{DSB}} = 2f_{\text{H}}$
SSB 调制 $f_c \sim f_c+f_{\text{H}}$ $f_c-f_{\text{H}} \sim f_c$ $B_{\text{SSB}} = f_{\text{H}}$
关键区别：边带数量
两个边带 $2f_{\text{H}}$ ）；
一个边带 $f_{\text{H}}$ ）。

希尔伯特变换

（1）希尔伯特变换的定义

$m(t)$ $\hat{m}(t) = \mathcal{H}\{m(t)\} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{m(\tau)}{t - \tau} d\tau$ $90^\circ$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{2}$ ” ）。

（2）正弦信号的希尔伯特变换特性

$m(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$ $m(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ ，希尔伯特变换有简洁的相位偏移规律：

$m(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$ $\mathcal{H}\{m(t)\} = A\sin\left(\omega t + \varphi - \frac{\pi}{2}\right) = -A\cos\left(\omega t + \varphi\right)$
$m(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ $\mathcal{H}\{m(t)\} = A\cos\left(\omega t + \varphi - \frac{\pi}{2}\right) = A\sin\left(\omega t + \varphi\right)$

$90^\circ$ 相移，这是通信中 “单边带调制（SSB）”“解析信号” 等应用的基础。

（3）解析信号与希尔伯特变换的关系

解析信号 $z(t) = m(t) + j\hat{m}(t)$ ，其频谱仅包含正频率分量（负频率分量被抵消），可用于简化调制、滤波等处理。

调频（FM）

1. 调频（FM）的基本原理

$s(t) = A \cos\left(2\pi f_c t + k_f \int m(t) \, dt\right)$ $k_f$ $m(t)$ $\Delta\varphi(t) = k_f \int m(t)$
$m(t)$ $\Delta\varphi(t)$ $\frac{d}{dt}[\Delta\varphi(t)] = \frac{d}{dt}\left[k_f \int m(t) \, dt\right] = k_f m(t)$

2. 关键参数定义与公式

瞬时角频率 $\omega(t) = 2\pi f_c + k_f m(t)$ ，体现调制信号对频率的直接影响。
最大角频偏 $\Delta\omega_{\text{max}} = k_f \cdot |m(t)|_{\text{max}}$ ，反映频率偏移的最大值，本题中通过相位导数间接推导。
调频指数 $m_f = \frac{\Delta\omega_{\text{max}}}{\omega_m} = \frac{k_f \cdot |m(t)|_{\text{max}}}{\omega_m}$ $\Delta\varphi_{\text{max}} = m_f$ ）。

A律13折线编码

1. A 律 13 折线编码的原理

A 律 13 折线是脉冲编码调制（PCM）中常用的非均匀量化方法，通过分段线性化近似对数压缩特性，将输入信号的动态范围划分为多个段落，对小信号采用细量化、大信号采用粗量化，以改善小信号的量化信噪比。

2. 8 位二进制编码的结构

A 律 13 折线的 8 位编码格式为：1 位符号位 + 3 位段落码 + 4 位段内码，具体说明如下：

编码位	含义	取值范围
第 1 位	符号位（表示信号正负）	0（负）/ 1（正）
第 2-4 位	段落码（确定信号所在的段落，共 8 个段落）	000~111（对应 8 个段落）
第 5-8 位	段内码（确定段落内的量化电平，每个段落分为 16 个量化级）	0000~1111（对应 16 个等级）

段落划分逻辑 $2^3 = 8$ 个段落，覆盖正负半轴的所有分段。
以最小量化间隔 Δ=1为单位，正半轴段落参数：
段落号起始点结束点步长段内间隔数段落码
0 0 16 1 16 000
1 16 32 1 16 001
2 32 64 2 16 010
3 64 128 4 16 011
4 128 256 8 16 100
5 256 512 16 16 101
6 512 1024 32 16 110
7 1024 2048 64 16 111
段内量化 $2^4 = 16$ 个等级，确定具体量化电平。
译码电平：取量化间隔中点，需要结合极性。
量化误差：∣输入值−译码电平∣。最大误差小于步长一半（因取中点）。

段落号	起始点	结束点	步长	段内间隔数	段落码
0	0	16	1	16	000
1	16	32	1	16	001
2	32	64	2	16	010
3	64	128	4	16	011
4	128	256	8	16	100
5	256	512	16	16	101
6	512	1024	32	16	110
7	1024	2048	64	16	111

3. 8 位编码的数学意义

$2 \times 8 \times 16 = 256$ $2^8 = 256$ ，故需 8 位编码。
编码与量化间隔的关系：
- 段落码决定量化间隔的倍数（大段落对应大间隔，小段落对应小间隔）；
- 段内码在段落内均匀划分量化级，例如第 1 段（小信号区）的量化间隔最小，第 8 段（大信号区）的间隔最大，实现非均匀量化。

4. 与均匀量化的对比

均匀量化：若量化电平数为 256，需 8 位编码，但所有区间量化间隔相同；
A 律 13 折线：8 位编码结合非均匀分段，用更少的位数实现对小信号的精细量化，等效提升小信号的量化信噪比。

横向滤波器

1. 横向滤波器（Transversal Filter）

定义：一种由抽头延迟线、乘法器和加法器组成的线性滤波器，通过加权求和处理输入信号，常用于信号均衡、信道补偿等场景。
结构特点 $2N+1$ $C_n$ 。

2. 均衡器的基本原理

目的：补偿信道失真，减少码间串扰（ISI），使输出信号更接近原始信号。
工作机制：通过调整滤波器系数，对输入信号的不同延迟分量进行加权，抵消信道引起的波形展宽。

3. 卷积与滤波器输出的关系

离散卷积 $y(k) = x(k) * h(k) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \cdot h(k-n)$ $h(k) = \{C_{-1}, C_0, C_{+1}\}$ $C_n$ $y_k$ $k-n$ 。

4. 码间串扰（ISI）与均衡的意义

码间串扰：由于信道带宽限制，当前码元的波形会扩散到相邻码元周期，导致抽样点信号叠加干扰。
均衡作用：通过滤波器设计，使目标抽样点的信号能量最大化，非目标点的干扰最小化。

迫零均衡器

1. 码间串扰 (ISI)

码间串扰是指数字通信系统中，当前码元的波形受到前后码元波形干扰的现象。它由信道的频率选择性衰落或多径传播引起，会导致接收端判决错误。

2. 均衡器与迫零准则

均衡器：用于补偿信道失真、减小码间串扰的信号处理装置
迫零均衡器：通过在特定采样点使码间串扰严格为零的均衡器设计方法，使得整体脉冲响应在指定采样时刻（除主采样点外）为零，从而消除 ISI。
数学模型 $x_n$ $h_n$ $y_n = \sum_{k} x_k \cdot h_{n-k}$
迫零条件 $y[0] = 1$ （归一化主采样点），并在相邻点强制 ISI 为零。对于 3 抽头均衡器，常设：
$y [- 1] = 0, y [0] = 1, y [1] = 0$

3. 峰值失真 (Peak Distortion)

未均衡时 $D = \frac{1}{|x_0|} \sum_{\substack{k=-\infty \\ k\neq 0}}^{\infty} |x_k|$
均衡后 $D' = \frac{1}{|y_0|} \sum_{\substack{k=-\infty \\ k\neq 0}}^{\infty} |y_k|$ $y_n$ 为均衡器输出信号的采样值。

眼图

利用示波器的余辉效应，评价接收信号质量的方法。

AMI/HDB3编码

AMI 码（交替反转码）

1. 编码规则

空号（0）：直接映射为 0 电平；
传号（1）：交替映射为 + 1 和 - 1 电平，即相邻 “1” 的极性相反。

例：二进制序列 1 0 1 1 0 0 1 → AMI 码：+1 0 -1 +1 0 0 -1

2. 特点与优势

直流平衡：由于 “1” 的极性交替，信号平均功率为零，消除了直流分量，适合变压器耦合传输；
简单易实现：编码规则直观，硬件实现成本低；
错误检测：若极性交替规律被破坏（如连续两个同极性 “1”），可直接检测传输错误。

3. 局限性

长连 0 问题：当二进制序列中出现长串 “0” 时，AMI 码波形长时间无跳变，导致接收端难以提取时钟同步信号（时钟恢复困难）。

HDB3 码（高密度双极性 3 码）

1. 设计目的

解决 AMI 码中长连 0 导致的同步困难，同时保持直流平衡特性。

2. 编码规则

基本规则：继承 AMI 码的极性交替原则（相邻 “1” 极性相反），但当出现 4 个连续 “0” 时，用特定 “取代节” 替换，避免长连 0。
取代节类型：
- 若当前非 0 码（“1”）的极性为 “+”，则记为 “+1”，反之记为 “-1”；
- $V_{\text{prev}}$ ，取代节有两种形式：
  - B00V：当取代前非 0 码的极性累积数（“+” 和 “-” 的数量差）为偶数时使用；
  - 000V：当累积数为奇数时使用；
- V 码（破坏码）：极性与前一个非 0 码相同（打破 AMI 的交替规则），和前面相邻的V极性相反，用于标识取代节，同时确保整个序列的极性交替在宏观上成立。
- B 码（平衡码）：极性符合 AMI 的交替规则，用于调整极性累积数，使整体直流平衡。

3. 编码示例

二进制序列：1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 步骤：

识别 4 个连续 “0” 的位置：第 2-5 位、第 7-10 位（后 4 位 “0” 实际为 6 个连续 “0”，需拆分为两组 4 个 “0”）；
第一个 4 连 0：最近非 0 码为 “+1”（第 1 位），极性累积数为 1（奇数），用 “000V” 取代，V 码极性与前非 0 码相同（+1），得：+1 0 0 0 +V；
第二个 4 连 0：前一个非 0 码为 “-1”（第 6 位，按 AMI 规则交替），极性累积数为 0（偶数），用 “B00V” 取代，B 码极性按 AMI 规则应为 “+1”，V 码极性与前非 0 码相同（-1），得：-1 +B 0 0 -V；
最终 HDB3 码：+1 0 0 0 +V -1 +B 0 0 -V 0 +1（注：实际编码中需严格遵循极性交替和累积数平衡）。

4. 特点与优势

无长连 0：最长连 0 数不超过 3，保证时钟同步信号的提取；
直流平衡：通过 V 码和 B 码的极性调整，整体信号仍无直流分量；
错误检测：V 码破坏极性交替规则，可用于检测传输错误；
兼容性：与 AMI 码兼容，解码端可轻松还原为 AMI 码或原始二进制序列。

其他编码（双相码、CIM码）

双相码通常指曼彻斯特编码，它将每个二进制码元分成两个相等的间隔。“0” 码用 “01” 表示，即在位中间从低电平跳变到高电平；“1” 码用 “10” 表示，在位中间从高电平跳变到低电平。

CMI码：“1” 用 11、00 交替表示，“0” 用 01 表示。

数字调制

几种不同的数字调制方式

1. 2ASK（二进制振幅键控）

定义：通过改变载波信号的振幅来表示二进制数字信号 “0” 和 “1”。
原理：
- 当传输 “1” 时，发送载波信号（振幅为 A）；
- 当传输 “0” 时，不发送载波信号（振幅为 0）。
示例：类似 “开关” 控制，如光通信中的开关键控（OOK）。

2. 2PSK（二进制相移键控）

定义：通过改变载波信号的相位来表示二进制信息。
原理：
- 通常用 0° 相位表示 “1”，180° 相位表示 “0”（或反之）。
特点：相位差为 180°，属于绝对相移调制。

3. 2FSK（二进制频移键控）

定义：通过改变载波信号的频率来表示二进制数据。
原理：
- 用频率 f1 表示 “1”，频率 f2 表示 “0”，两个频率间隔 Δf 需满足正交条件。
示例：早期 Modem（拨号上网）中常用此方式。

4. 2DPSK（二进制差分相移键控）

定义：基于 2PSK 的改进，通过前后码元的相位差来表示信息，属于相对相移调制。
原理：
- 不直接使用绝对相位，而是用当前码元与前一码元的相位差（如 0° 表示 “0”，180° 表示 “1”）。
目的：解决 2PSK 的 “相位模糊” 问题（接收端可能误判绝对相位基准）。

2PSK ——1、0变换时，交界处变载频相位。

2DPSK——0不变，1变，遇到1，变换载频相位。

2ASK——只有1有载频。

2FSK——1低载频，2高载频。

核心技术指标对比

指标	2ASK	2PSK	2FSK	2DPSK
调制参数	振幅	相位	频率	相位差
抗噪声性能	较差（振幅易受噪声影响）	最佳（相位信息更稳定）	中等（频率区分需足够间隔）	接近 2PSK（略低）
带宽需求	理论带宽 = 2× 码元速率	理论带宽 = 2× 码元速率	理论带宽 =Δf+2× 码元速率	同 2PSK
频谱效率	高（带宽利用率高）	高	低（需额外频率间隔）	高
实现复杂度	简单（硬件要求低）	中等（需相位基准）	中等（需频率合成器）	中等（需差分编码）
相位模糊问题	无	有（接收端可能误判 0°/180°）	无	无（差分编码消除基准依赖）

通信原理习题

第1章-第3章

$r = \boxed{30}$ dB。

Note

$r = 10 \log_{10}\left(\frac{P_s}{P_n}\right)$ $P_s = 2\ \text{W}$ $P_n = 2 \times 10^{-3}\ \text{W}$ $r = 10 \log_{10}\left(\frac{2}{2 \times 10^{-3}}\right) = 10 \log_{10}(1000) = 10 \times 3 = 30\ \text{dB}$

信噪比（SNR） 定义为信号功率与噪声功率的比值，反映信号在噪声环境中的质量。
$10 \log_{10}(P_s/P_n)$ ，目的是将大范围的功率比转换为更易处理的数值。

$R_{\text{B}}=\boxed{2000}$ $R_{b}=\boxed{8000}$ bit/s。

Note

$R_{\text{B}}$ $T = 0.5\ \text{ms} = 0.5 \times 10^{-3}\ \text{s}$ $R_{\text{B}} = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.5 \times 10^{-3}} = 2000\ \text{Baud}$

$R_b$ $\log_2(16) = 4\ \text{bit}$ $R_b = R_{\text{B}} \times \log_2(M) = 2000 \times 4 = 8000\ \text{bit/s}$

传码率（波特率） $R_{\text{B}} = 1/T$ 。
信息速率 $\log_2(M)$ $R_b = R_{\text{B}} \times \log_2(M)$ 。

$\boxed{均值}$ $\boxed{自相关函数}$ 仅与时间间隔有关，那么该随机过程就称为广义平稳的。

Note

自相关函数是用来描述同一个信号在不同时刻的相似程度的数学工具。

$x(t)$ $R(\tau)$ $R(\tau) = E[x(t) \cdot x(t+\tau)]$ $\tau$ $E[~]$ 表示期望（可简单理解为平均乘积）。

$\tau=0$ $R(0) = E[x^2(t)]$ ，即信号的能量（或功率），此时相关性最强。
$\tau$ $R(\tau)$ $\tau$ 内的 “记忆程度”：
- $R(\tau)$ $\tau$ 增大缓慢下降；
- $R(\tau)$ $\tau$ 增大快速趋近于 0。

$R(\tau)=3g_4(\tau)$ $g$ $\boxed{12⋅Sa(2ω)}$ 。

Note

$S(\omega)$ $R(\tau)$ $S(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau$ $R(\tau) = 3g_4(\tau)$ $g_4(\tau)$ $g_4(\tau) = 1$ $|\tau| \leq 2$ $\mathcal{F}\{g_4(\tau)\} = 4 \cdot \text{Sa}(2\omega) = 4 \cdot \frac{\sin(2\omega)}{2\omega} = \frac{2\sin(2\omega)}{\omega}$ $S(\omega) = 3 \times 4 \cdot \text{Sa}(2\omega) = 12 \cdot \frac{\sin(2\omega)}{2\omega} = 6 \cdot \frac{\sin(2\omega)}{\omega}$

维纳 - 辛钦定理：建立了随机过程时域自相关函数与频域功率谱密度的一一对应关系，是信号频域分析的核心理论之一。
门函数的傅里叶变换 $g_T(\tau)$ $T \cdot \text{Sa}(\omega T/2)$ $\text{Sa}(x) = \sin(x)/x$ 。

$\sigma^2=20$ $\xi(t)=a_{\xi}(t)cos [\omega_c t+\varphi_{\xi}(t)]$ $\boxed{(a_{\xi}(t)\cos\varphi_{\xi}(t))}$ $\boxed{(a_{\xi}(t)\sin\varphi_{\xi}(t))}$ $\boxed{20}$ 。

Note

$\xi(t) = x(t)\cos\omega_c t - y(t)\sin\omega_c t$

$\xi(t)$ $\xi(t) = a_{\xi}(t)\cos\varphi_{\xi}(t)\cos\omega_c t - a_{\xi}(t)\sin\varphi_{\xi}(t)\sin\omega_c t$ 定义：

同相分量：
$x(t) = a_{\xi}(t)\cos\varphi_{\xi}(t)$
- $\cos\omega_c t$ 同相位，故称为 “同相”（In-Phase, I 路）。
正交分量：
$y(t) = a_{\xi}(t)\sin\varphi_{\xi}(t)$
- $\sin\omega_c t$ $\cos\omega_c t$ $90^\circ$ （正交），故称为 “正交”（Quadrature, Q 路）。

$E\left[\xi^{2}(t)\right]$ （均方值）。

$\sigma^{2}=E\left[\xi^{2}(t)\right]-\{E[\xi(t)]\}^{2}=E\left[\xi^{2}(t)\right]$ $E[\xi^2(t)]$ = 方差 = 20 。

$m(t)$ 的双边功率谱密度如图所示，求其平均功率。

Note

$P_m(f)$ $(-\infty, +\infty)$ $P = \int_{-\infty}^{\infty} P_m(f) \, df$

$P = 2 \times 5 = \boxed{10\ \text{W}}$

$3000 \text{bit/s}$ $10$ $18$ 个错误码元，求该系统的误码率。

Note

$R_b = 3000\ \text{bit/s}$ $t = 10\ \text{分钟} = 10 \times 60 = 600\ \text{s}$ $N_e = 18$
$M = 8$ $R_b$ $R_B$ $R_b = R_B \cdot \log_2 M$ $M = 8$ $\log_2 8 = 3$ $R_B = \frac{R_b}{\log_2 M} = \frac{3000}{3} = 1000\ \text{Baud}$
$R_B$ $N = R_B \cdot t = 1000 \times 600 = 6 \times 10^5\ \text{码元}$
$P_e = \frac{N_e}{N}$ $N_e = 18$ $N = 6 \times 10^5$ $P_e = \frac{18}{6 \times 10^5} = \boxed{3 \times 10^{-5}}$

$X$ $\mu_{X}=5$ $\sigma_{X}=3$ $Y=3 X+2$ $f(y)$

Note

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma_X \sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(x - \mu_X)^2}{2\sigma_X^2} \right]$ $\mu_X = 5$ $\sigma_X = 3$ $f_X(x) = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(x - 5)^2}{2 \times 9} \right] = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(x - 5)^2}{18} \right]$

$X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma_X^2)$ $\mu_X$ $\sigma_X^2$ $Y = aX + b$ $a \neq 0$ $Y \sim \mathcal{N}(a\mu_X + b, (a\sigma_X)^2)$

$E[Y] = E[aX + b] = aE[X] + b$ $a = 3$ $b = 2$ $\mu_X = 5$ $\mu_Y = 3 \times 5 + 2 = 17$

$\text{Var}(Y) = \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$ $a = 3$ $\sigma_X^2 = 9$ $\sigma_Y^2 = 3^2 \times 9 = 81 \implies \sigma_Y = 9$

$\mathcal{N}(\mu_Y, \sigma_Y^2) = \mathcal{N}(17, 81)$ $f_Y(y) = \frac{1}{\sigma_Y \sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(y - \mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2} \right]$ $\mu_Y = 17$ $\sigma_Y = 9$ $f_Y(y) = \frac{1}{9\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(y - 17)^2}{2 \times 81} \right] = \boxed{\frac{1}{9\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(y - 17)^2}{162} \right]}$

$P_n(f) = 2.5 \times 10^{-7} \, \text{W/Hz}$ ，通过如下低通滤波器，画出其双边功率谱密度，求其平均功率。

Note

$P_o(f) = P_n(f) \cdot |H(f)|^2$

$f \in [-2\ \text{kHz}, 2\ \text{kHz}]$ $P_n(f) = 2.5 \times 10^{-7}\ \text{W/Hz}$ $|H(f)| = 4$ $P_o(f) = 2.5 \times 10^{-7} \times 4^2 = 2.5 \times 10^{-7} \times 16 = 4 \times 10^{-6}\ \text{W/Hz}$
$f \notin [-2\ \text{kHz}, 2\ \text{kHz}]$ $|H(f)| = 0$ $P_o(f) = 0$ 。

$P_o(f)$ $\text{kHz}$ $\text{W/Hz}$

$P_o = \int_{-\infty}^{\infty} P_o(f) \, df$

$P_o(f)$ $f \in [-2\ \text{kHz}, 2\ \text{kHz}]$ $[-2\ \text{kHz}, 2\ \text{kHz}]$ $P_o = 2 \times \int_{0}^{2\ \text{kHz}} P_o(f) \, df$

$P_o(f) = 4 \times 10^{-6}\ \text{W/Hz}$ $P_o = 2 \times \left( 4 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^3 \right) = 2 \times 8 \times 10^{-3} = 1.6 \times 10^{-2}\ \text{W} = \boxed{0.016\ \text{W}}$

第5章

$f_{\text{H}}$ 的调制信号分别进行 AM、DSB、SSB 调制，则三种已调信号的带宽分别为（ A ）。

$2f_{\text{H}}$ $2f_{\text{H}}$ $f_{\text{H}}$

$f_{\text{H}}$ $2f_{\text{H}}$ $f_{\text{H}}$

$2f_{\text{H}}$ $2f_{\text{H}}$ $2f_{\text{H}}$

$f_{\text{H}}$ $2f_{\text{H}}$ $2f_{\text{H}}$

Note

AM 调制 $f_{\text{H}}$ $f_{\text{H}}$ $2f_{\text{H}}$ 。
DSB 调制 $2f_{\text{H}}$ $f_{\text{c}} \sim f_{\text{c}}+f_{\text{H}}$ $f_{\text{c}}-f_{\text{H}} \sim f_{\text{c}}$ $2f_{\text{H}}$ ）。
SSB 调制 $f_{\text{H}}$ $f_{\text{H}}$ ）。

2.对下述载波电话多路复用系统框图的描述，不正确的是（ B ）。

A、发送端各调制器的载频设置必须遵循保护频带原则。

B、发送端低通滤波器的作用是滤除带外噪声。

C、该框图只适用于模拟信号的多路传输，不适用于数字信号的多路传输。

D、接收端的各路带通滤波器用来过滤每路SSB信号，因此中心频率各不相同。

Note

$f_{c1}, f_{c2}, \dots, f_{cn}$ 需遵循保护频带原则—— 相邻边带间预留空白频段，避免频谱重叠导致干扰。

发送端低通滤波器（LPF）的作用是限制消息信号的最高频率（限制信号带宽，如语音信号限带至 3.4kHz），而非 “滤除带外噪声”（噪声抑制更多由信道或后续滤波处理）。

$f_{c1}, f_{c2}, \dots, f_{cn}$ ，用于分离不同路的 SSB 信号（每路占据不同频段）。

$m(t) = 2\sin(20\pi t + \frac{\pi}{4})$ $\boxed{\left(2\sin\left(20\pi t - \frac{\pi}{4}\right)\right)}$ 。

Note

$\frac{\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{2}$ $\mathcal{H}\left\{ A\sin(\omega t + \varphi) \right\} = A\sin\left(\omega t + \varphi - \frac{\pi}{2}\right)$

$m(t) = 2\sin\left(20\pi t + \frac{\pi}{4}\right)$ $A = 2$ $\omega = 20\pi$ $\varphi = \frac{\pi}{4}$ $\mathcal{H}\{m(t)\} = 2\sin\left(20\pi t + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(20\pi t - \frac{\pi}{4}\right)$

$\boxed{22.5kHz}$ $\boxed{5kHz}$ $P_n(f) = 5 \times 10^{-5} \text{W/Hz}$ $\boxed{(0.5) \text{W}}$ 。

Note

$f_c = 20\ \text{kHz}$ $f_c \sim f_c + f_{\text{H}}$ $f_{\text{H}} = 5\ \text{kHz}$ 中心频率 $f_0 = f_c + \frac{f_{\text{H}}}{2} = 20\ \text{kHz} + \frac{5\ \text{kHz}}{2} = 22.5\ \text{kHz}$

$f_{\text{H}}$ 带宽 $B = f_{\text{H}} = 5\ \text{kHz}$

$P_n(f) = 5 \times 10^{-5}\ \text{W/Hz}$ $B = 5\ \text{kHz}$ 双边带噪声功率 $N_i = 2\int_{f_c - \frac{B}{2}}^{f_c + \frac{B}{2}} P_n(f) \, df$

$P_n(f) = 5 \times 10^{-5}\ \text{W/Hz}$ $B = 5\ \text{kHz} = 5 \times 10^3\ \text{Hz}$ $N_i = 2P_n(f) \times B = 5 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^3 = 0.25\ \text{W}$

$s(t) = \cos(2\pi f_c t + 4 \cos 200\pi t)$ 的最大角频偏和调频指数。

Note

$\Delta \omega_{\text{max}}$ ）是 FM 信号瞬时角频率相对于载波角频率的最大偏移量。

$\begin{gathered} s(t)=\cos \left(2 \pi f_{c} t+4 \cos 200 \pi t\right) \end{gathered}$

$\varphi_{i}(t)$ $\begin{gathered} \varphi_{i}(t)=2 \pi f_{c} t+4 \cos 200 \pi t \end{gathered}$

$\omega_{i}(t)$ 是瞬时相位对时间的导数：

$\begin{gathered} \omega_{i}(t)=\frac{d}{d t} \varphi_{i}(t)=\frac{d}{d t}\left(2 \pi f_{c} t+4 \cos 200 \pi t\right) \end{gathered}$

计算导数：

$\begin{gathered} \omega_{i}(t)=2 \pi f_{c}+4 \cdot(-200 \pi) \sin (200 \pi t)=2 \pi f_{c}-800 \pi \sin (200 \pi t) \end{gathered}$

$\Delta \omega(t)$ $\omega_{c}=2 \pi f_{c}$ 的差值：

$\begin{gathered} \Delta \omega(t)=\omega_{i}(t)-\omega_{c}=-800 \pi \sin (200 \pi t) \end{gathered}$

$\sin (200 \pi t)$ $[-1,1]$ ，因此角频偏的绝对值的最大值为：

$\begin{gathered} \left|\Delta \omega(t)\right|_{\max }=|-800 \pi| \cdot|\sin (200 \pi t)|_{\max }=800 \pi \end{gathered}$

$\begin{gathered} \Delta \omega_{\max }=800 \pi \text { rad/s } \end{gathered}$

调频指数定义为最大相位偏移或最大频率偏移与调制信号频率之比。

$\phi(t) = 4 \cos 200 \pi t$ ，其最大值为:

$|\phi(t)|_{\max} = |4| \cdot |\cos 200 \pi t|_{\max} = 4$

$m_f$ $m_f= \phi_{\max} = 4$

$m_f = \frac{\Delta\omega_{\text{max}}}{\omega_m}$ $\omega_m = 200\pi\ \text{rad/s}$ $4 \cos 200\pi t$ $200\pi$ 得出）。

$m_f = \frac{800\pi}{200\pi} = 4$

$m(t)$ $f_c \gg f_m$ $S_{LSB}(t)$ $S_{LSB}(f)$ 。


xxxxxxxxxx
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![image-20250621220620490](通信原理.assets/image-20250621220620490.png)
2
   
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> [!NOTE]
4
>
5
> 对于基带信号 $m(t)$，DSB 信号的频谱为：$S_{\text{DSB}}(f) = \frac{1}{2} M(f - f_c) + \frac{1}{2} M(f + f_c)$
6
>
7
> - SSB 通过滤波从 DSB 信号中提取一个边带:
8
>     - 下边带 (LSB)：保留 $M(f + f_c)$ (负频率部分) 和 $M(f - f_c)$ 的镜像 (正频率部分)。
9
> - 频谱表达式:
10
>
11
> LSB 频谱是 DSB 频谱的一半（因另一半边带被滤除）:
12
>
13
> $ S_{LSB}(f) = \begin{cases} \frac{1}{2} M(f + f_c) & \text{for } f \in [−f_c, −f_c + f_m] \\ \frac{1}{2} M(f - f_c) & \text{for } f \in [f_c - f_m, f_c] \\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases} $
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>
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> ![image-20250621230251628](通信原理.assets/image-20250621230251628.png)

第10章

$\boxed{40}$ kHz。

Note

$f_m$ $0 \sim f_m$ 无失真恢复原始信号 $f_s$ $f_s \geq 2f_m$

$m(t)$ $M$ $\boxed{0.5}$ 。

Note

等间隔划分 $[a, b]$ 量化间隔 $\Delta$ $\Delta = \frac{b - a}{M}$

$a = -5$ $b = 5$ $M = 20$ $\Delta = \frac{5 - (-5)}{20} = \frac{10}{20} = 0.5$

$\Delta v$ 为确定值时，如果输入信号幅值在正常量化区内变化，其最大量化误差为 ( B )。

$\Delta v$ $\frac{\Delta v}2$ $\frac{\Delta v}4$ $2 \Delta v$

Note

$\Delta/2$ $\Delta v/2$ ）。

4.与均匀量化相比，非均匀量化（ D ）。

A. 降低了系统复杂度。 B. 主要改善了大信号的量化信噪比。 C. 扩大了达到某种信噪比要求的信号动态范围。 D. 改善了小信号的量化信噪比。

Note

$\Delta$ 固定，对所有幅度的信号 $\Delta$ 随信号幅度变化 ——小信号时量化间隔小，大信号时量化间隔大。

5.量化会产生量化噪声，衡量量化噪声对系统通信质量影响的指标是（ D ）。

A. 量化噪声功率 B. 量化信号功率 C. 量化间隔大小 D. 量化信噪比

Note

$\Delta$ $N_q \propto \Delta^2$ ），但并非直接衡量噪声影响的指标。因此 C 错误。

量化信噪比（Signal-to-Quantization Noise Ratio, SQNR）定义为信号功率与量化噪声功率的比值，直接反映了噪声对信号质量的影响程度（比值越高，噪声影响越小）。

6.采用A律13折线对信号进行非均匀量化编码，通常编码输出是用（ C ）位二进制数表示。

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Note

A 律 13 折线的 8 位编码格式为：1 位符号位 + 3 位段落码 + 4 位段内码

7.采用 A 率 13 折线编码，设最小量化间隔为 1 个单位，已知抽样脉冲值为 -158 单位：

(1) 试求此时编码器输出码组，并计算量化误差(译码电平取量化间隔的中点); (2) 写出对应于该 7 位码（不包括极性码）的均匀量化 11 位码（采用自然二进制码）。

Note

极性码：抽样值为负，故极性码为 0。
段落确定：幅度为 158 单位。幅度 158 满足 128 ≤ 158 < 256，故位于段落 4。
$\mathbf{1 0 0}$ 。
$L_{k}=128+k \times 8$ $k=$ $0,1, \ldots, 15$ 。输入幅度 158 所在的间隔:
$128+k \times 8 \leqslant 158<128+(k+1) \times 8$
$k=3$ $128+3 \times 8=152 \leqslant 158<160=128+4 \times 8$ )。
$k=3$ $\mathbf{0 0 1 1}$ $\mathbf{0 0 1 1}$ 。
输出码组：完整 8 位码组为极性码 + 段落码 + 段内码
$=\mathbf{0}+\mathbf{1 0 0}$ $\mathbf{+0 0 1 1=\boxed{0 1 0 0 0 0 1 1}}$ (二进制)。
译码电平：译码电平取量化间隔中点，公式为：
$\text { 译码电平 }=\text { 段落起始点 }+\left(k+\frac{1}{2}\right) \times \text { 步长 }$
$k=3$ 、步长 8[(256-128)/16]:
$\text { 幅度译码电平 }=128+\left(3+\frac{1}{2}\right) \times 8=128+28=156$
抽样值为负，故译码电平为 -156 单位。
量化误差：量化误差定义为输入值与译码电平之差的绝对值：
$|-158-(-156)|=|-2|=\boxed{2 \text { 单位 }}$
均匀量化 11 位自然二进制码：
对于该7位码 0 1 0 0 0 0 1 1，152为该7位码起点，156为该7位码中点。
这里取起点152进行二进制转换（11 位, 高位补零）
$152_{10} = 2^{7} + 2^{4} + 2^{3} = 128 + 16 + 8$
$\boxed{00010011000}$ 。

$\text{ 已知 } A \text { 律 } 13 \text { 折线 } P C M \text { 编码器的输入信号取值范围为 } \pm 1 V \text {, 最小量化 }$

$\text { 间隔为一个量化单位 }(\Delta ) 。 \text { 试求：当输入抽样脉冲的幅度 } I_{\mathrm{h}}=0.62 \mathrm{~V} \text { 时, 编码器输出的 }$

$P C M \text { 码字 }\left(C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} C_{5} C_{6} C_{7} C_{8}\right) \text { 和量化误差。 }$

Note

$\text{【解】首先将输入信号抽样值 } 0.62 \mathrm{~V} \text { 化为量化单位, 即 }$

$\quad I_{\mathrm{s}} = \frac { 0 . 6 2 } { 1 } \times 2 0 4 8 \approx 1 2 7 0 \Delta$

编码过程如下:

$C_{1}$ $I_{\mathrm{s}}$ $C_{1}=1$ ;

$C_{2} C_{3} C_{4}$ $C_{2}$ $I_{\mathrm{s}}$ $I_{\mathrm{w} 1}=128 \Delta$ $I_{\mathrm{s}} > I_{\mathrm{w} 1}$ $C_{2}=1$ $I_{\mathrm{s}}$ 处于后4段 (5~8段)。

$C_{2}=1$ $I_{\mathrm{w} 2}=512 \Delta$ $I_{\mathrm{s}}$ 处于5~ $I_{\mathrm{s}} > I_{\mathrm{w} 2}$ $C_{3}=1$ $I_{\mathrm{s}}$ 处于7~8段内。

$C_{2} C_{3}=11$ $I_{\mathrm{w} 3}=1024 \Delta$ $I_{\mathrm{s}} > I_{\mathrm{w} 3}$ $C_{4}=1$ 。

$C_{2} C_{3} C_{4}$ $I_{\mathrm{s}}$ $1024 \Delta$ $\Delta v_{8} = 64 \Delta$ 。

$C_{5} C_{6} C_{7} C_{8}$ $I_{\mathrm{s}}$ $I_{\mathrm{s}}$ $I_{\mathrm{s}}$ 在前8级还是后8级,故本地译码电路输出的第四个标准电流为

$I_{\mathrm{w} 4} = \text { 段落起始电平 } + 8 \times \text { (量化间隔) }$

$=1024+8 \times 64=1536 \Delta$

$I_{s}<I_{\mathrm{w}_{4}}$ $C_{5}=0$ $10-8$ $I_{s}$ $I_{s}$ 处于这 8 级中的前 4 级还是后 4 级，故本地译码电路输出的第五个标准电流为

$I_{\mathrm{w}_{5}}=1024+4 \times 64=1280 \Delta$

$I_{\mathrm{s}}<I_{\mathrm{w}_{5}}$ $C_{6}=0$ $I_{\mathrm{s}}$ 处于前 4 级 (0~3 级)。同理, 本地译码电路输出的第六个标准电流为

$I_{\mathrm{w} 6}=1024+2 \times 64=1152 \Delta$

$I_{\mathrm{s}}>I_{\mathrm{w}_{6}}$ $C_{7}=1$ $I_{\mathrm{s}}$ 处于 2 3 级。根据前面编码的情况,本地译码电路输出的第七个标准电流为

$I_{\mathrm{w}_{7}}=1024+3 \times 64=1216 \Delta$

$I_{s}>I_{\mathrm{w}_{7}}$ $C_{8}=1$ $I_{s}$ 处于序号为 3 的量化级内, 见下图。

$I_{\mathrm{s}}=0.62 \mathrm{~V}=1270 \Delta$ $C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} C_{5} C_{6} C_{7} C_{8}=11110011$ $I_{\mathrm{s}}$ $I_{\mathrm{c}}=1216 \Delta$ $(1270-1216)=54 \Delta$ 。

第6章

$C_{-1} = -1/4$ $C_0 = 1$ $C_{+1} = -1/2$ $x(t)$ $x_{-1} = 1/4$ $x_0 = 1$ $x_{+1} = 1/2$ $y(t)$ 在各抽样点上的值。

Note

$y_k = \sum_{n=-N}^{N} C_n \cdot x_{k-n}$ $C_n$ $x_{k-n}$ $N=1$ ）。

$C_n$ $y_k$ $k-n$ 。

$C_{-1} = -1/4$ $C_0 = 1$ $C_{+1} = -1/2$ $x_{-1} = 1/4$ $x_0 = 1$ $x_{+1} = 1/2$ ，其余点为 0。

$y_k$ $k-n$ 展开：

$y_k = C_{-1}x_{k-(-1)} + C_0x_{k-0} + C_{+1}x_{k-(+1)} = C_{-1}x_{k+1} + C_0x_k + C_{+1}x_{k-1}$

$k = -1$ 时 $y_{-1} = C_{-1}x_{0} + C_0x_{-1} + C_{+1}x_{-2} = (-\frac{1}{4}) \times 1 + 1 \times \frac{1}{4} + (-\frac{1}{2}) \times 0 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$
$k = 0$ 时 $y_0 = (-\frac{1}{4}) \times \frac{1}{2} + 1 \times 1 + (-\frac{1}{2}) \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{8} + 1 - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$k = +1$ 时 $y_{+1} = C_{-1}x_{2} + C_0x_{1} + C_{+1}x_{0} = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 0 + 1 \cdot \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
$k=-2,2$ $y_{-2}=-\frac{1}{16}$ $y_{2}=-\frac{1}{4}$

结果汇总

抽样点 k	$y_k$
$-1$	$0$
0	$3/4$
$+1$	0
$-2$	$-\frac{1}{16}$
$+2$	$-\frac{1}{4}$
其他	0

$x_{-2}=0, \quad x_{-1}=0.1, \quad x_{0}=1, \quad x_{1}=-0.2, \quad x_{2}=0.1$ , 求 3 个抽头的系数, 并计算均衡前后的峰值失真。

Note

$h_{-1}, h_0, h_1$ $h = [h_{-1}, h_0, h_1]$

$y_n$ 需满足：

$y_0 = 1$ （归一化条件，保证信号幅度不变）
$y_1 = 0$ （消除前一码元对当前码元的干扰）
$y_{-1} = 0$ （消除当前码元对后一码元的干扰）

$y_0$ 方程 $y_0 = x_{-1}h_1 + x_0h_0 + x_1h_{-1} = 1$

$y_1$ 方程 $y_1 = x_0h_1 + x_1h_0 + x_2h_{-1} = 0$

$y_{-1}$ 方程 $y_{-1} = x_{-2}h_1 + x_{-1}h_0 + x_0h_{-1} = 0$

均衡器抽头系数 $h_{-1} \approx -0.09606, \quad h_0 \approx 0.9606, \quad h_1 \approx 0.2017$

均衡前峰值失真 $D = \frac{1}{|x_0|} \sum_{\substack{k=-\infty \\ k\neq 0}}^{\infty} |x_k|$

$|x_{-1}| + |x_1| + |x_2| = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4$

$D = \frac{0.4}{|1|} = 0.4$

均衡后峰值失真 $D' = \frac{1}{|y_0|} \sum_{\substack{k=-\infty \\ k\neq 0}}^{\infty} |y_k|$

$y_0=1$ $y_{k}\text{计算同上题}$

$D_{p}=\sum_{k \neq 0}|y[k]|=|y[-2]|+|y[2]|+|y[3]| \approx 0.0869$

$g_{1}(t)$ $g_{2}(t)$ $g_{1}(t)$ $P$ $g_{2}(t)$ $(1-P)$ 。试证明下式成立时, 脉冲序列将无离散谱。

$P=\frac{1}{1-\frac{g_{1}(t)}{g_{2}(t)}}$

Note

$P_{\mathrm{G}_{1}}(t)+(1-P) g_{2}(t)=0$ , 对其两边进行傅里叶变换，得

$P \hat{G}_{1}(f)+(1-P) \hat{G}_{2}(f)=0$

$f=m f_{\mathrm{B}}$ , 有

$P \hat{G}_{1}\left(m f_{\mathrm{B}}\right)+(1-P) \hat{G}_{2}\left(m f_{\mathrm{B}}\right)=0$

将上式代入《通信原理 (第 7 版) 》教材式 (6.1-14), 可知离散谱消失, 即

$P_{\mathrm{D}}(f)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left|f_{\mathrm{B}}\left[P G_{1}\left(m f_{\mathrm{B}}\right)+(1-P) G_{2}\left(m f_{\mathrm{B}}\right)\right]\right|^{2} \delta\left(f-m f_{\mathrm{B}}\right)=0$

证毕。

$\mathrm{HDB}_{3}$ 码, 并分别画出它们的波形图。

Note

$(+、 0 、-)$ 波形, 图略。

$H(\omega)$ $2 / T_{B}$ $H(\omega)$ 能否满足抽样点上无码间串扰的条件？

Note

方法 1 $R_{\mathrm{B}} = 1 / T_{\mathrm{B}}$ $H(\omega)$ 应满足

$\sum_{i} H\left(\omega + \frac{2 \pi i}{T_{\mathrm{B}}}\right) = C \quad |\omega| \leqslant \frac{\pi}{T_{\mathrm{B}}}$

$R_{\mathrm{B}} = 2 / T_{\mathrm{B}}$ $H(\omega)$ 应满足

$\sum_{i} H\left(\omega + \frac{4 \pi i}{T_{\mathrm{B}}}\right) = C \quad |\omega| \leqslant \frac{2 \pi}{T_{\mathrm{B}}}$

容易验证: 除 (c) 之外, (a)、(b) 和 (d) 均不满足上式所述的无码间串扰条件。

方法 2 $H(\omega)$ $R_{\mathrm{Bmax}} = 2 f_{\mathrm{N}}$ $R_{\mathrm{B}} = 2 / T_{\mathrm{B}}$ 进行比较。若满足

$R_{\mathrm{Bmax}} = n R_{\mathrm{B}} \quad n = 1, 2, 3, \cdots$

$R_{\mathrm{B}}$ 进行数据传输时, 可以实现抽样点上无码间串扰。

$R_{\mathrm{Bmax}} = 1 / T_{\mathrm{B}} < R_{\mathrm{B}} = 2 / T_{\mathrm{B}}$ , 故不能;

$R_{\mathrm{Bmax}} = 3 / T_{\mathrm{B}}$ $R_{\mathrm{B}}$ , 但非整数倍关系, 故不能;

$R_{\mathrm{Bmax}} = 2 / T_{\mathrm{B}} = R_{\mathrm{B}}$ $H(\omega)$ 满足无码间串扰传输的条件;

$R_{\mathrm{Bmax}} = 1 / T_{\mathrm{B}} < R_{\mathrm{B}}$ , 故不能。

6.【课本习题6-17、18】某二进制数字基带系统所传送的是单极性基带信号, 且数字信息“1”和“0”的出现概率相等。

$A=1(\mathrm{~V})$ $0.2(\mathrm{~V})$ $P_{e}$ ;

$P_{e}$ $10^{-5}$ $A$ 至少应该是多少?

若将上题中的单极性信号改为双极性信号, 而其他条件不变, 重做上题中的各问，并进行比较。

Note

$P(1)=P(0)=1/2,\sigma_{R}=0.2,A=1$ $P_{e}$ 为

$P_{e}=\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{A}{2 \sqrt{2} \sigma_{R}}\right)=\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{1}{0.4 \sqrt{2}}\right)=6.21 \times 10^{-3}$

$P_{e} \leqslant 10^{-5}$ $\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{A}{2 \sqrt{2} \sigma_{R}}\right) \leqslant 10^{-5}$ $A \geqslant 8.6 \sigma_{R}$ 。

若将上题中的单极性信号改为双极性信号，而其他条件不变，重做上题中的各问，并进行比较。

$P_{e}$ 为

$P_{e}=\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{A}{\sqrt{2} \sigma_{R}}\right)=\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{1}{0.2 \sqrt{2}}\right)=2.87 \times 10^{-7}$

$P_{e} \leqslant 10^{-5}$ $\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{A}{\sqrt{2} \sigma_{R}}\right) \leqslant 10^{-5}$ $A \geqslant 4.3 \sigma_{R}$ 。

评注： $A / \sigma_{R}$ $\sigma_{R}$ $P_{e}$ $A$ 是双极性的两倍。

$x(t)$ $x_{-2} = 0, x_{-1} = 0.2, x_{0} = 1, x_{+1} = -0.3, x_{+2} = 0.1$ ，其余均为零。

(1) 求三个抽头的最佳系数；

(2) 比较均衡前后的峰值失真。

Note

$C_{i}$ $2 N+1$ 个线性方程为

$\left\{\begin{array}{ll}\sum_{i=-N}^{N} C_{i} x_{k-i}=0 & k= \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm N \\\sum_{i=-N}^{N} C_{i} x_{-i}=1 & k=0\end{array}\right.$

$C_{-1} 、 C_{0}$ $C_{1}$ 满足的矩阵方程

$\left[\begin{array}{lll}x_{0} & x_{-1} & x_{-2} \\x_{1} & x_{0} & x_{-1} \\x_{2} & x_{1} & x_{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}C_{-1} \\C_{0} \\C_{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\1 \\0\end{array}\right]$

$x_{k}$ 代入，可得方程组

$\left\{\begin{array}{l}C_{-1}+0.2 C_{0}=0 \\-0.3 C_{-1}+C_{0}+0.2 C_{1}=1 \\0.1 C_{-1}-0.3 C_{0}+C_{1}=0\end{array}\right.$

解得

$C_{-1}=-0.1779, \quad C_{0}=0.8897, \quad C_{1}=0.2847$

$y_{k}=\sum_{i=-N}^{N} C_{i} x_{k-i}$ 可算出

$\begin{array}{ll}y_{-1}=0, & y_{0}=1, \quad y_{1}=0 \\y_{-3}=0, & y_{-2}=\quad-0.0356, \quad y_{2}=0.00356, \quad y_{3}=0.0285\end{array}$

$y_{k}=0$

输入峰值失真为

$D_{x}=\frac{1}{x_{0}} \sum_{k \neq 0}^{\infty}\left|x_{k}\right|=0.6$

输出峰值失真为

$D_{y}=\frac{1}{y_{0}} \sum_{k \neq 0}^{\infty}\left|y_{k}\right|=0.06766$

均衡后的峰值失真减小 8.87 倍。

第7章

$10101$ $1200 \mathrm{~B}$ :

$2400 \mathrm{~Hz}$ 时，试分别画出 2ASK、2PSK及2DPSK信号的波形;

$1200 \mathrm{~Hz}$ $2400 \mathrm{~Hz}$ 时,画出其波形。

(3) 上述各已调信号的带宽是多少?

Note

2ASK / 2PSK / 2DPSK 带宽:
- $B = 2 R_b$ $R_b = 1200$ $B = 2 \times 1200 = 2400$ Hz
2FSK 带宽:
- $B = |f_2 - f_1| + 2 R_b$ $f_1 = 1200$ $f_2 = 2400$ $|f_2 - f_1| = 1200$ $R_b = 1200$ $B = 1200 + 2 \times 1200 = 3600$ Hz

$1000\text{B}$ $1000\text{Hz}$ $2000\text{Hz}$ $011010$ ：

(1) 试画出一种2FSK信号调制器原理框图，并画出2FSK信号的时间波形；

(2) 试画出2FSK信号的功率谱密度示意图。


xxxxxxxxxx
7
1
1. 连续谱：  
2
   - 以f1=1000Hz为中心，主瓣范围约0~2000Hz（带宽2Rb=2000Hz），呈sinc²衰减；  
3
   - 以f2=2000Hz为中心，主瓣范围约1000~3000Hz，与前者重叠1000~2000Hz；  
4
   - 旁瓣按1/f²衰减，幅度随频率升高快速下降。  
5

6
2. 离散谱：  
7
   - 在f1和f2处存在冲击函数，幅度为连续谱峰值的1/4（理论值）。

$2FSK$ $2400Hz$ $2FSK$ $f_{1} = 980Hz$ $f_{2} = 1580Hz$ $R_{B} = 300B$ $6dB$ 。试求：

(1) 2FSK信号的带宽；

(2) 同步检测法解调时系统的误码率。

Note

$B = |f_2 - f_1| + 2R_B$

$f_1 = 980\text{Hz}$ $f_2 = 1580\text{Hz}$ $R_B = 300\text{B}$ $|f_2 - f_1| = 1580 - 980 = 600\text{Hz}$ $B = 600 + 2 \times 300 = 1200\text{Hz}$

$\text{SNR(dB)} = 10 \log_{10}\left(\frac{S}{N}\right)$ $\frac{S}{N}$ 即信噪比的线性值。

$6\,\text{dB}$ $6 = 10 \log_{10}\left(\text{SNR}_{\text{in}}\right)$

计算得到近似值为4.

$B_0 = 2R_B = 2 \times 300 = 600 \, \text{Hz}$ $S_o/N_o=4$

$r = 4 \times 4 = 16$

$r$ 代入误码率计算公式即可得解

$P_{e} \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi r}} e^{-\frac{r}{2}}$

$R_B=10^6$ $n_0=2 \times 10^{-10}$ $10^{-4}$ 。试求：

(1)采用相干解调一码反变换时，接收机输入端所需的信号功率。

第11章

1.码组11010，其码长和码重为多少？

Note

其码长n=5，码重W=3。

码长：指一个码组中包含的码元（bit）数量，即码组的长度。

码重：指码组中 “1” 的个数，反映码组的非零元素数量。

$(7,3)$ 码的生成矩阵为

$G=\left[\begin{array}{lllllll} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]$

试列出其所有许用码组，并求出其监督矩阵。

Note

（1）

$0000000 \quad 1001110 \quad 0011101 \quad 1010011$ $\begin{array}{llll}0100111 & 1101001 & 0111010 & 1110100\end{array}$

$G=\left[I_{k} Q\right]$ $P=Q^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{l}101 \\ 111 \\ 110 \\ 011\end{array}\right]$ , 因此监督矩阵为

$H=\left[P I_{r}\right]=\left[\begin{array}{lllllll} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$ 解题过程：

$n = 7$ $k = 3$ $r = n - k = 4$

$2^3 = 8$ 种组合（从 000 到 111）。

$C = u \cdot G$ $1 \times 7$ $c_j$ $c_j = \sum_{i=1}^3 u_i \cdot G_{i,j} \quad (\text{模2运算})$

$u = [1, 0, 1]$ 为例），计算一组许用编码

$c_1$ $c_1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1 \quad (\text{模2})$
$c_2$ $c_2 = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0 \quad (\text{模2})$
$c_3$ $c_3 = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1 \quad (\text{模2})$
$c_4$ $c_4 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 0 \quad (\text{模2，因 } 1+1=0)$
$c_5$ $c_5 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 0 \quad (\text{模2})$
$c_6$ $c_6 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1 \quad (\text{模2})$
$c_7$ $c_7 = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1 \quad (\text{模2})$

$C = [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1]$

$G = [I | P]$ $[P^T | I]$ $P^T$ $4×4$ 的单位矩阵。

$3×3$ $I = \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
$3×4$ $P = \left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]$

$P^T$ ：

$P^T = \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]$

$P^T$ $4×4$ 单位矩阵组合起来，得到监督矩阵H：

$H = \left[\begin{array}{lll|llll} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

3.已知一个（7, 4）循环码的全部码组为

$\begin{array}{ccccccccccccc}0000000 & 1000101 & 0001011 & 1001110 & & & & & & & & & \\0010110 & 1010011 & 0011101 & 1011000 & & & & & & & & & \\0100111 & 1100010 & 0101100 & 1101001 & & & & & & & & & \\0110001 & 1110100 & 0111010 & 1111111 & & & & & & & & &\end{array}$

$g(x)$ $G(x)$ $G(x)$ 化成典型阵。

Note

$g(x)=x^{3}+x+1$

(2) 生成矩阵

$G(x)=\left[\begin{array}{c}x^{3} g(x) \\x^{2} g(x) \\x g(x) \\g(x)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x^{6} + x^{4} + x^{3} \\x^{5} + x^{3} + x^{2} \\x^{4} + x^{2} + x \\x^{3} + x + 1\end{array}\right]$

$G=\left[\begin{array}{lllllll}1011000\\0101100\\0010110\\0001011 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1000 & 101 \\0100 & 111 \\0010 & 110 \\0001 & 011\end{array}\right]=\left[I_{k} Q\right]$ 解题过程：

$g(x) = x^3 + x + 1$ ，且该多项式能整除所有码字多项式。

0001011 $x^3 + x^1 + x^0$ ，次数为 3，符合。

$G(x)$ ：

$G(x)$ $g(x)$ 的倍式构成，每个倍式对应信息位的一个基向量：

$G(x) = \begin{bmatrix} x^3 g(x) \\ x^2 g(x) \\ x g(x) \\ g(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^6 + x^4 + x^3 \\ x^5 + x^3 + x^2 \\ x^4 + x^2 + x \\ x^3 + x + 1 \end{bmatrix}$

对应的矩阵形式为：

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

将 G 化为典型阵：

$[I_k | P]$ $I_k$ $k \times k$ $k \times (n - k)$ 矩阵。通过行变换将 G 化为：

$G_{\text{典型}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

4.【课本习题11-6】已知某线性码的监督矩阵为

$H=\left[\begin{array}{lllllll}1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

试列出其所有可能的码组。

Note

通信原理学习笔记

离散消息的信息量

信息速率与传码率的关系

（1）信息速率与传码率的关系

（2）误码率 PeP_e 的定义

确知信号

平稳过程的自相关函数

1. 自相关函数的定义

2. 自相关函数的性质与物理量解析

3.广义平稳随机过程的性质

高斯随机变量与概率密度函数

（1）高斯随机变量的定义

（2）线性变换下正态分布的不变性

（3）期望与方差的线性性质

随机信号的功率谱

（1）随机信号通过线性系统的功率谱关系

（2）平均功率与功率谱密度的关系

（3）白噪声的功率谱特性

（4）低通滤波器的频响特性

频谱调制

1. 调制带宽的本质

2. 各调制方式的带宽公式

希尔伯特变换

（1）希尔伯特变换的定义

（2）正弦信号的希尔伯特变换特性

（3）解析信号与希尔伯特变换的关系

调频（FM）

1. 调频（FM）的基本原理

2. 关键参数定义与公式

A律13折线编码

1. A 律 13 折线编码的原理

2. 8 位二进制编码的结构

3. 8 位编码的数学意义

4. 与均匀量化的对比

横向滤波器

1. 横向滤波器（Transversal Filter）

2. 均衡器的基本原理

3. 卷积与滤波器输出的关系

4. 码间串扰（ISI）与均衡的意义

迫零均衡器

1. 码间串扰 (ISI)

2. 均衡器与迫零准则

3. 峰值失真 (Peak Distortion)

眼图

AMI/HDB3编码

AMI 码（交替反转码）

1. 编码规则

2. 特点与优势

3. 局限性

HDB3 码（高密度双极性 3 码）

1. 设计目的

2. 编码规则

3. 编码示例

4. 特点与优势

其他编码（双相码、CIM码）

数字调制

几种不同的数字调制方式

核心技术指标对比

通信原理习题

第1章-第3章

第5章

第10章

第6章

第7章

第11章

$P_e$ 的定义